Cote Z
LES VALEURS STANDARDISÉES OU LA VARIABLE CENTRÉE RÉDUITE
Supposons que vous voulez comparer les résultats scolaires d'étudiants de deux écoles
différentes. Les étudiants n'ont pas les mêmes professeurs et chacune des
écoles possède un environnement différent, on s'attend donc que la
moyenne, et l'écart-type, des écoles soient différents. On ne peut donc pas comparer leurs
notes directement, que faire ?
Il faut utiliser la « Cote Z », elle permet de comparer les
valeurs dans des distributions différentes. Dans l'exemple où l'on veut
comparer les notes de deux étudiants de deux écoles différentes, les « valeurs »
sont les notes d'examens et les « distributions » correspondent aux deux écoles.
Théorie
Standardisation de la moyenne, le centrage
Standardisation sur l'écart-type, la réduction
Définitions
Formules mathématiques
Exemple
Étude de cas
La cote Z est une standardisation de la moyenne et de l'écart-type. Ainsi,
un étudiant ayant une cote Z de « 2 » dans une école est de la
même force qu'un autre étudiant ayant obtenu la cote Z de « 2 » dans une autre
école.
Nous faisons la standardisation en utilisant les deux paramètres importants
d'une distribution normale soit la
moyenne et l'écart-type. Si l'on compare les étudiants de deux écoles
différentes, nous devons connaître la moyenne et l'écart-type des notes de
chacune des écoles.
Pour faciliter les calculs arithmétiques, les statisticiens décidèrent
que la cote Z aurait une moyenne μ de 0.
Les étudiants ayant une note au-dessus de la moyenne du groupe ont une
cote Z positive et ceux ayant une note en dessous de la moyenne ont une
cote Z négative.
Pour standardiser sur la moyenne, on utilise la procédure que l'on appelle centrage.
On
soustrait simplement toutes les valeurs du groupe par la moyenne du groupe.
Exemple
Standardisons sur la moyenne la note de 3 étudiants d'une école dont la
moyenne du groupe est de 75 :
| |
Bruno |
Robert |
Johanne |
|
Note |
70 |
75 |
80 |
|
Note standardisée sur la moyenne |
-5 |
0 |
5 |
Pour obtenir la note standardisée sur la
moyenne, nous soustrayons 75 de chacune des notes. Par exemple, pour Bruno
nous avons :
Note - moyenne = note standardisée moyenne
70 - 75
= -5
Encore pour faciliter les calculs arithmétiques, les statisticiens fixèrent
l'écart-type σ de la cote Z à 1.
Pour standardiser l'écart-type, on divise les valeurs du groupe
standardisées sur la moyenne par l'écart-type du groupe. Cette dernière procédure, que
l'on appelle réduction, nous donne finalement la cote Z.
Cette procédure ramène les données dispersées vers la moyenne et éloigne
les données concentrées sur la moyenne.
Exemple
Standardisons sur l'écart-type la note de 3 étudiants d'une école dont
l'écart-type est 5 :
| |
Bruno |
Robert |
Johanne |
|
Note |
70 |
75 |
80 |
|
Note standardisée sur la moyenne |
-5 |
0 |
5 |
Note standardisée sur l'écart-type:
Cote Z |
-1 |
0 |
1 |
Pour obtenir la cote Z, on divise la moyenne standardisée par
l'écart-type du groupe.
Exemple, pour Bruno nous avons :
-5/5 = -1
Si on transforme une valeur en lui appliquant la cote Z nous avons une
valeur standardisée.
On a vu précédemment que la cote Z se calcule en soustrayant de chaque valeur la
moyenne de son groupe et ensuite, en
divisant le résultat par l'écart-type
de son groupe.
L'utilisation de la cote Z sur toute une variable, nous donne une variable
centrée réduite, une variable dont la moyenne est 0 et l'écart-type.
Les valeurs auxquelles on applique la transformation de la cote Z de
cette variable sont dites valeurs standardisées.
La cote Z est une transformation arithmétique
permettant de comparer les individus de deux groupes distincts, même si les
groupes possèdent des moyennes et des écarts types différents.
- Une cote Z négative signifie un résultat inférieur à la moyenne.
- Plus la cote Z est basse, plus faible est le
résultat en comparaison des autres valeurs du groupe.
- Une cote Z positive signifie un résultat supérieur
à la moyenne.
- Plus la cote Z est
élevée, plus élevé est le résultat en comparaison des autres valeurs du groupe.
- Une cote Z identique pour 2 individus de groupes
différents, signifie que les deux ont une note identique compte tenu de la
force respective des groupes.
- Par exemple, si Bruno a une cote Z supérieure à celle de Jean qui est dans un autre groupe, cela
signifie que les résultats de Bruno sont supérieurs à ceux de Jean et ce, quelles
que soient les notes avant la transformation de standardisation.
- La cote Z d'une variable a une moyenne de 0.
- La cote Z d'une variable a un écart-type de 1.
Comme la cote Z utilise la
moyenne et l'écart-type, il faut que les variables soient du type variable
qualitative nominale.
Les comparaisons utilisant la cote Z sont certainement plus justifiés que
les comparaisons sans cette standardisation. Cependant, ces comparaisons restent
soumises aux mêmes difficultés méthodologiques que les comparaisons de groupes.
C'est-à-dire qu'il faut s'assurer que les deux groupes sont comparables. Prenons
l'exemple où deux écoles seraient radicalement différentes : l'une met l'accent sur la compréhension et l'autre sur la
connaissance. La cote Z risque de donner des résultats boiteux, puisque basée sur des compétences trop différentes.
Un
étudiant ayant une bonne cote Z dans une école risque d'avoir une moins bonne
dans l'autre.
Un autre problème de comparaison serait celui des groupes enrichis. Quand une
école recueille exclusivement les étudiants d'un niveau scolaire élevé, cela
fait que les meilleurs de ce groupe ont la même cote Z que les autres groupes
puisque la concurrence est plus forte.
La cote Z se calcule facilement. Les formules de la cote Z demandent que
l'on connaisse la
moyenne μ et
l'écart-type σ de chacun des
groupes à comparer.
La formule de la cote Z s'écrit comme suit :
Pour chacune des valeurs de la variable, la formule devient :
Les travailleurs d'une usine d'assemblage ont une moyenne de 30 pièces
par jour avec un écart-type de 10. Quelle est la cote Z de Bruno qui produit
20 pièces par jour ?
Solution :
Reprenons les formules ci-dessus :
En substituant les valeurs, nous
avons :
Vous comparez la productivité de trois travailleurs de trois usines
différentes. On veut trouver l'ouvrier de l'année. D'après vous quel est le
meilleur ouvrier selon les conditions de travail de l'usine dans laquelle il travaille
? Vous trouverez ci-dessous les détails de productivité des usines et
des travailleurs :
|
Usine |
Montréal |
Rimouski |
Québec |
Productivité
(en pièces par personne) |
70 |
75 |
80 |
|
Écart-type |
5 |
10 |
7 |
|
Nom travailleur |
Bruno |
Robert |
Johanne |
|
Productivité personnelle |
80 |
95 |
94 |
Réponse : on utilise la cote Z pour faire ce genre de classement. Elle nous permet
de comparer les valeurs de plusieurs groupes ayant des paramètres différents. L'ouvrier ayant la
meilleure cote Z est le plus productif.
Pour le calcul de la productivité standardisée de Bruno, nous avons :
Pour Robert :
Et pour Johanne :
Réponse : les trois ouvriers ont une note égale malgré
de grandes variations entre la productivité de chacun. Ils sont ex æquo.
Dans le logiciel SPSS version 10 en français.
Entrez vos données dans SPSS.
Les données que nous utilisons dans notre exemple sont fictives. Si vous
voulez suivre cet exemple, téléchargez les données dans l'un des deux
formats suivants :
SPSS
(préférable) ou
ASCII.(difficile).
Calcul du coefficient d'asymétrie
- Menu Analyse --> Statistiques descriptives --> Caractéristiques,
une fenêtre intitulée Caractéristiques s'ouvre. Placez à droite
dans la fenêtre variable(s), les variables dont vous souhaitez faire le
calcul de la cote Z;
- Cliquez sur la case en bas à gauche « Enregistrer des valeurs
standardisées des variables.
- Cliquez sur le bouton OK, pour
faire faire le calcul par SPSS.
Interprétation des résultats
Dans l'explorateur de
résultats, cliquez sur Descriptives.
En haut du tableau, on peut lire le nom du tableau : Statistiques
descriptives. Dans ce tableau vous avez les paramètres utilisés pour la
normalisation soit la
moyenne μ et
l'écart-type σ.
Pour voir la variable standardisée, cliquez sur la fenêtre « Éditeurs
de données SPSS ». À
l'extrême droite de la fenêtre de l'« Affichage des données »
une nouvelle variable est ajoutée, son nom commence par Z suivi du nom de la
variable.
Voir aussi:
      
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